Programmi di calcolo per le murature: stato dell'arte

Comportamento non lineare

Le esperienze maturate a seguito di terremoti violenti hanno evidenziato che la sopravvivenza dei manufatti murari agli eventi sismici è in molti casi assicurata dal loro comportamento inelastico. Il danneggiamento che il materiale muratura presenta già per bassi livelli tensionali rende i metodi dell'analisi lineare fortemente inadatti a studiarne la risposta. La valutazione del comportamento inelastico e della duttilità globale del sistema viene in tal caso considerata in maniera sintetica, attraverso la sola definizione del fattore di struttura da impiegare per la riduzione delle ordinate dello spettro elastico. Ne consegue che l'analisi del comportamento sotto sisma di costruzioni in muratura e la valutazione degli effetti migliorativi di possibili interventi di consolidamento richiedono l'utilizzo di adeguate procedure di analisi in campo non lineare. Al riguardo anche i documenti normativi più recenti, che individuano nella domanda di spostamento la grandezza fondamentale della progettazione sismoresistente, richiedono l'applicazione di modelli e metodi di analisi non lineare per stimare la vulnerabilità sismica degli edifici esistenti e per valutare l'efficacia di possibili interventi di rinforzo. Tali codici, in accordo con la filosofia del Performance-Based Engineering richiedono inoltre di valutare la sicurezza strutturale non solo nei confronti delle condizioni di collasso ma anche con riferimento ad altri stati limite di danno o "livelli prestazionali" intermedi.

Il comportamento primariamente non lineare delle strutture murarie, qualitativamente associato al fenomeno del danneggiamento, dipende da diversi fattori che hanno scale di importanza diverse. La prima e più importante sorgente di non linearità è legata alla piccolezza e aleatorietà della resistenza a trazione che rende il comportamento della muratura essenzialmente unilaterale, ossia non reagente a trazione. All'aumentare dei carichi la struttura si "parzializza" ed è come se cambiasse la sua geometria determinando in questo modo l'effetto di non linearità. La manifestazione più evidente della parzializzazione nelle strutture murarie è rappresentata dalla comparsa di lesioni di rottura per frattura, che interrompono la continuità tra parti contigue della compagine muraria. La seconda causa di non linearità è la limitata resistenza a compressione cui è associato il meccanismo di rottura per schiacciamento. Qualunque sia la complessità del modello proposto, non si può prescindere dalla descrizione del primo e del secondo modo di comportamento testé descritti.

Modelli esistenti

Nel contesto delle procedure di tipo non lineare, è necessario osservare che l'analisi dinamica comporta il ricorso a dati aggiuntivi (segnali accelerometrici, modelli isteretici, ecc.) con una forte dipendenza dei risultati dalla definizione dei dati in ingresso. D'altra parte, i modelli basati sull'analisi limite (Como & Grimaldi, 1985 - Abruzzese at al. 1992) consentono la sola valutazione del carico di collasso, riconducendosi di fatto allo studio di cinematismi di corpi rigidi e trascurando la deformabilità della struttura che può condizionarne sensibilmente le prestazioni in corrispondenza dei vari stati limite. In base a tali considerazioni, è allora possibile ritenere che i metodi basati sull'analisi non lineare di tipo statico (pushover) possano rappresentare l'approccio più conveniente per la valutazione della risposta sismica di strutture murarie. L'impiego di tale tipo di analisi può essere sviluppato, in ambito tecnico, riferendosi a differenti schematizzazioni, che possono basarsi sia su una modellazione di tipo bidimensionale dei pannelli murari che su una modellazione del tipo monodimensionale, in cui si ipotizza di isolare degli elementi (maschi, fasce) idealizzabili come travi tozze con comportamento non lineare oppure come bielle (puntoni). Nel caso dei modelli di tipo bidimensionale si nota come un ingrediente fondamentale della modellazione sia considerato il comportamento unilatero (o "no tension") del materiale che conferisce quindi una rigidezza variabile all'elemento, in funzione dello stato di sollecitazione. Per comportamento unilatero si intende l'ipotesi di resistenza a trazione nulla, che può essere di tipo generalizzato (non si ammette trazione in qualunque giacitura) oppure limitato a giaciture particolari (orientate come i letti di malta). L'implementazione della condizione "no tension" avviene quindi utilizzando tecniche che modificano la geometria degli elementi, al fine di eliminare le zone in trazione (D'Asdia e Viskovic, 1994), oppure mediante una opportuna formulazione del campo di sforzi all'interno del pannello (Braga e Liberatore, 1990). Nei due modelli appena citati per le zone compresse ovvero "reagenti" degli elementi vengono mantenute delle relazioni costitutive di tipo elastico lineare. Per tener conto di eventuali meccanismi di rottura quali ad esempio quelli legati allo schiacciamento della muratura compressa è quindi necessario introdurre delle verifiche sui valori massimi delle tensioni di compressione. In tali modelli si utilizzano quindi dei criteri di verifica della resistenza nei confronti di alcuni possibili meccanismi di rottura delle parti reagenti e l'analisi viene interrotta se uno dei criteri risulta violato.

Modelli numerici ad elementi monodimensionali

Nell'ambito poi dei modelli con elementi monodimensionali la classe dei modelli basati sull'idealizzazione a biella o a puntone (Calderoni et al., 1987 e 1989) si propone di modellare la porzione reagente del pannello murario mediante un elemento biella la cui inclinazione e la cui rigidezza riproducano in media il comportamento del pannello. Poiché al crescere della parzializzazione consegue una variazione delle proprietà geometriche della biella equivalente (inclinazioni, dimensioni della sezione), anche questi metodi sono classificabili come "a geometria variabile". La crisi dei singoli pannelli è associata al raggiungimento di una configurazione limite di equilibrio oppure alla rottura per compressione del puntone. L'altra classe di modelli con elementi monodimensionali fa uso di elementi trave con deformazione a taglio. In questo ambito sono stati proposti sia elementi a rigidezza costante in fase elastica cui segue una fase di deformazione plastica (Tomaževic, 1978, Dolce, 1989, Tomaževic e Weiss, 1990) che a rigidezza variabile (basata sul calcolo in sezione parzializzata, Braga e Dolce, 1982). Gran parte dei metodi basati sul "meccanismo di piano" (fra cui il POR) rientrano in questa classe di modelli. L'introduzione in ambito tecnico-scientifico di metodi basati su un'analisi statica non lineare risale proprio alla fine degli anni settanta, quando a seguito del terremoto del Friuli fu introdotto anche nel nostro paese proprio il metodo POR. I limiti principali del metodo consistevano nel considerare i maschi murari come unica sede di deformazioni e rotture, nell'ipotizzare come unico meccanismo di collasso quello di taglio per fessurazione diagonale e nel valutare le condizioni di crisi prescindendo dal comportamento complessivo e considerando una ripartizione delle azioni piano per piano. Modellazioni e metodi successivi, quali il metodo PORFLEX (Braga & Dolce, 1982), il metodo VEM (Fusier & Vignoli, 1993), il metodo RAN (Augenti et al., 1982) hanno in parte superato i limiti del metodo di Tomaževic mediante l'inserimento di elementi come cordoli, fasce di piano etc. ed hanno incluso la possibilità di portare in conto i meccanismi di rottura a pressoflessione degli elementi snelli consentendo anche analisi di tipo globale.

In alternativa a tali proposte sono state poi sviluppate recenti ed accurate modellazioni "semplificate" a macroelementi ed a telaio equivalente per un'analisi di tipo globale, quali il metodo SAM (Magenes & Della Fontana, 1996) ed il metodo TREMURI (Lagomarsino et al., 2002). In particolare il SAM è un metodo per l'analisi statica non lineare di edifici in muratura soggetti ad azioni orizzontali sviluppato presso l'Unità di Ricerca dell'Università di Pavia coordinata dal prof. Guido Magenes. Il metodo mira alla valutazione della risposta globale degli edifici in muratura, in cui il meccanismo resistente è governato dalla risposta nel piano delle pareti, senza considerare meccanismi di collasso associati alla risposta dinamica fuori dal piano. La sua applicazione al caso di pareti murarie piane, si basa su una modellazione a telaio equivalente costituito da elementi maschio (ad asse verticale), elementi fascia (ad asse orizzontale) ed elementi nodo presenti alle estremità di dette aste la cui dimensione può essere definita facendo riferimento a semplici regole di tipo geometrico. Gli elementi maschio e fascia sono del tipo "beam-column" e presentano deformabilità assiale ed a taglio. Gli elementi nodo sono invece infinitamente rigidi e resistenti per cui è possibile modellarli numericamente introducendo opportuni bracci rigidi (offsets) alle estremità degli elementi lineari maschio e fascia. Per quanto riguarda i meccanismi di rottura previsti per i singoli elementi possono essere di tre tipi: a) pressoflessione o ribaltamento (rocking); b) taglio scorrimento (bed joint sliding); c) taglio con fessurazione diagonale. In particolare il singolo meccanismo si attiva quando nell'elemento strutturale si raggiunge un valore limite della corrispondente caratteristica di resistenza. La condizione di collasso globale dell'intera struttura viene infine individuata per un valore dello spostamento cui corrisponde in almeno un maschio il raggiungimento del limite deformativo espresso in funzione del tipo di meccanismo in termini di distorsione angolare. Per poter applicare il metodo ad edifici reali è stato poi necessario sia inserire eventuali altri elementi strutturali diversi dalla muratura (ad esempio catene in acciaio o cordoli in cemento armato) che tener conto di una modellazione tridimensionale. In particolare quest'ultima estensione è stata effettuata introducendo opportuni link rigidi che permettono il collegamento tra pareti concorrenti in un martello o cantonale consentendo inoltre la modellazione del grado di ammorsamento tra dette pareti. Per quanto riguarda infine il comportamento statico fuori dal piano di un muro, esso viene modellato in analogia con il comportamento nel piano prevedendo che possano essere definite due diverse altezze efficaci relativamente alle deformazioni nel piano e fuori dal piano per cui si ritiene opportuno adottare in ogni caso un'altezza efficace pari all'altezza libera interpiano. È stata inoltre introdotta la possibilità di imporre l'ipotesi di solai infinitamente rigidi nel piano riducendo di conseguenza così i gradi di libertà cinematici, qualora lo si ritenga opportuno.

Il metodo TREMURI proposto dai ricercatori dell'Università di Genova (Gambarotta e Lagomarsino, 1996, Brencich e Lagomarsino, 1997 e 1998) si distingue dai modelli finora citati in quanto, sebbene possa essere utilizzato per l'analisi statica non lineare, mira anche alla modellazione del comportamento ciclico delle pareti in muratura. Trattandosi di un modello a macroelementi, esso ha quindi il grande pregio di consentire analisi dinamiche con un onere computazionale relativamente ridotto. In base ai criteri finora discussi, la classificazione del modello non risulta immediata. Anche in questo caso il metodo si basa su una schematizzazione a telaio equivalente in cui le deformazioni sono concentrate in corrispondenza dei maschi e delle fasce modellate come macroelementi finiti bidimensionali, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo. Il macroelemento è inoltre diviso al suo interno in tre parti di cui due di estremità in cui è concentrato il comportamento a pressoflessione ed uno centrale in cui è concentrato il comportamento a taglio. Le restanti porzioni di parete distinte dai macroelementi vengono considerate come vincoli rigidi (offset) in grado di ridistribuire gli sforzi tra i vari elementi strutturali deformabili e di garantire il comportamento tridimensionale. Di fatto, le grandezze cinematiche e statiche utilizzate per la formulazione dell'elemento consistono in spostamenti e rotazioni nodali e in azioni risultanti M, T, N, che quindi richiamano i modelli monodimensionali. Tuttavia, l'introduzione di gradi di libertà interni all'elemento e di opportune considerazioni sui cinematismi di ribaltamento o "rocking" e di taglio-scorrimento conferiscono un carattere di "bidimensionalità" all'elemento, che sembra quindi riprodurre in modo efficace e sintetico le caratteristiche più importanti della risposta non lineare dei pannelli murari. Anche in questo caso la modellazione tridimensionale viene effettuata introducendo opportuni link rigidi che permettono il collegamento tra le pareti concorrenti in un incrocio anche se si trascura completamente il contributo delle pareti fuori dal piano. È stata infine introdotta oltre alla possibilità di imporre l'ipotesi di solaio infinitamente rigido quella di schematizzare l'impalcato come una piastra ortotropa.

Approcci FEM

Infine in alternativa alle recenti ed accurate modellazioni a macroelementi per un'analisi di tipo globale, si può fare ricorso anche a modellazioni FEM che, sebbene a costo di un maggiore onere di calcolo, consentono di cogliere puntualmente le situazioni che caratterizzano le condizioni di crisi.

Il metodo può essere applicato considerando differenti schematizzazioni del materiale muratura: a) micro-modellazione discreta del materiale distinguendo il comportamento della malta, degli elementi lapidei ed il legame d'interfaccia; b) macromodellazione al continuo del materiale ideale, considerato come omogeneo ed isotropo o ortotropo.

Le prime proposte relative alla micro-modellazione sono dovute ad alcuni autori (Anthoine, 1992; Lourenço, 1994) che a seguito di specifiche analisi sperimentali hanno proposto semplici modelli di interazione malta-mattone e di comportamento per l'intero complesso strutturale in muratura.

Tuttavia, nella maggior parte dei casi concreti l'impiego della legge di interazione malta-mattone è di fatto non applicabile per la valutazione del comportamento globale della struttura, soprattutto nel caso di murature piuttosto irregolari in cui si può considerare una diffusione pressoché uniforme delle tensioni nel materiale. È allora più conveniente far ricorso ad una macro-modellazione al continuo in cui la muratura viene schematizzata tramite opportune relazioni costitutive tra tensioni e deformazioni medie del materiale.

Tale approccio, di tipo fenomenologico, è di gran lunga il più utilizzato in letteratura e comporta il vantaggio di una forte riduzione del tempo di calcolo, nonché una semplificazione nella definizione della discretizzazione (mesh).