Effetti del secondo ordine: l’analisi P-∆

L’analisi P-∆ valuta gli effetti deformativi del secondo ordine, causati da una non linearità geometrica, su una struttura. Questi sono legati alla rigidezza laterale e possono comportare, in presenza di elevata deformabilità laterale, un considerevole incremento di sollecitazioni.

Si consideri un’asta incastrata alla base (Figura 1), soggetta ad un carico assiale P ed uno laterale V. Attraverso un’analisi statica lineare, il ∆ rappresentativo dello spostamento laterale dipenderebbe esclusivamente dal momento M= V·L, generato dal carico laterale V:

   

Per effetto del carico verticale, il momento alla base aumenta di una quantità pari a P∆ (da qui il nome “analisi P∆”):

   

Da cui:

   

Il secondo termine dipende da una non linearità geometrica; in definitiva, l’analisi statica lineare sottovaluterebbe questa deflessione dell’asta, per cui si effettua l’analisi P∆ (che è una analisi statica non lineare) per tenere in conto di eventuali effetti deformativi del secondo ordine.

Generalmente questo tipo di analisi è condotta su edifici alti e snelli, soggetti a forze laterali come quella del vento, per i quali la sola analisi lineare risulterebbe poco cautelativa.

Gli effetti del secondo ordine, sono tanto più gravosi quanto più la struttura è flessibile e comportano, in aggiunta all’aumento di sollecitazioni, tre fenomeni:

• riduzione della rigidezza elastica laterale;
• riduzione della resistenza globale in termini di taglio alla base;
• riduzione della duttilità.

La Normativa considera un approccio semplificato che consiste nell’individuazione di un parametro θ, a seconda del quale capire se è necessario tener conto degli effetti deformativi del secondo ordine sulla nostra struttura:

   

dove:

• P è il carico verticale totale dovuto all’orizzontamento in esame e alla struttura ad esso sovrastante;
• d_Er è lo spostamento orizzontale medio d’interpiano, ottenuto come differenza tra lo spostamento orizzontale dell’orizzontamento considerato e lo spostamento orizzontale dell’orizzontamento immediatamente sottostante;
• V è la forza orizzontale totale in corrispondenza dell’orizzontamento in esame, derivante dall’analisi lineare con fattore di comportamento q;
• h è la distanza tra l’orizzontamento in esame e quello immediatamente sottostante.

In Tabella 1 sono riportati i risultati ottenuti modellando in IperSpace un telaio bidimensionale in calcestruzzo armato di 3 campate, di luce pari a 6 metri, e 6 piani, ognuno dei quali alto 4 metri. Nel calcolo si sono considerate la presenza di un carico distribuito sulle travi pari a 100 kN/m e un sistema di forze orizzontali, i cui valori sono riportati in Figura 2.

Come si può notare, i valori del parametro θ per gli impalcati superiori al secondo sono maggiori di 0.1. La struttura è stata, successivamente, calcolata portando in conto gli effetti del secondo ordine. Il software, in questo caso considera, nel calcolo, il contributo della matrice di rigidezza e quello della matrice geometrica.

Si nota (Tabella 2) che gli spostamenti assumono nei due casi valori differenti, maggiori nel caso di analisi non lineare.

Chiaramente, ai fini del calcolo, non sempre è necessario effettuare un’analisi P-Δ. A tal proposito la Norma, in funzione del valore del parametro θ, precisa quando è necessario e come portare in conto gli effetti del secondo ordine. Infatti

• se risulta θ < 0.1, gli effetti e quindi la non linearità risultano trascurabili;
• se risulta 0.1 ≤ θ ≤ 0.2 ,si incrementa l’azione sismica orizzontale di un fattore pari a 1/(1-θ);
• se risulta 0.2 ≤ θ ≤ 0.3, si tiene conto della non linearità attraverso un’analisi non lineare;
• θ > 0.3 non è un valore accettabile: la struttura è troppo deformabile per le azioni orizzontali e va progettata nuovamente, riconsiderandola in termini di rigidezza.

IperSpace BIM ogni qual volta si effettua un calcolo sismico calcola i valori del parametro θ che l’utente può controllare cliccando sull’icona Taglianti, dalla barra di controllo associata al Calcolo.

Per effettuare, invece, un calcolo considerando anche gli effetti del secondo ordine, si abilita con un check Analisi P-Δ, all’interno della finestra delle proprietà associata al calcolo; è necessario che esista un calcolo (lineare) precedente, da cui reperire i valori dello sforzo normale agente sulla struttura.

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